FFT

**FFT (Fast Fourier Transform)**는 **푸리에 변환(Fourier Transform)**을 효율적으로 계산하는 알고리즘입니다. 푸리에 변환은 주어진 신호를 주파수 성분으로 분해하는 수학적 기법으로, 신호가 시간 도메인에서 어떻게 변하는지에 대한 정보를 주파수 도메인에서 분석할 수 있게 해줍니다. FFT는 이 푸리에 변환을 빠르게 계산할 수 있는 방법을 제공하여, 신호 분석, 이미지 처리, 음성 인식 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.

푸리에 변환 (Fourier Transform)

푸리에 변환은 신호를 주파수 성분으로 변환하는 수학적 변환입니다. 연속적인 시간 신호 x(t)에 대해 푸리에 변환 X(f)는 다음과 같이 정의됩니다:

여기서:

• x(t)는 시간 영역의 신호입니다.
• X(f)는 주파수 영역의 신호입니다.
• j는 허수 단위입니다.
• f는 주파수입니다.

푸리에 변환을 사용하면 시간 영역의 신호를 여러 주파수 성분으로 분해할 수 있습니다.

FFT (Fast Fourier Transform)

FFT는 푸리에 변환을 효율적으로 계산하는 알고리즘으로, 푸리에 변환을 직접 계산하는 데 걸리는 시간 복잡도를 크게 줄여줍니다. 푸리에 변환은 원래 계산이 복잡하여 O(N^2) 시간 복잡도를 가집니다. 하지만 FFT는 이를 분할 정복 방식으로 처리하여 시간 복잡도를 O(Nlog⁡N)로 줄입니다.

FFT의 원리

FFT는 신호의 길이가 2의 거듭제곱일 때 가장 효율적으로 작동합니다. 신호의 길이가 NNN일 때, FFT는 신호를 재귀적으로 작은 부분으로 나누어 푸리에 변환을 계산합니다. 이 과정은 분할 정복 방식으로 진행됩니다.

예를 들어, 신호 x(t)의 푸리에 변환을 구하려면, 먼저 신호를 짝수 번째와 홀수 번째 샘플로 나누고, 각 부분에 대해 푸리에 변환을 계산한 후, 그 결과를 결합하여 최종적인 주파수 성분을 구합니다.

이 방법은 신호의 크기가 2의 거듭제곱일 때 매우 빠르게 작동합니다. 그 외의 경우에도 여전히 유효하지만, 더 복잡한 알고리즘을 사용할 수 있습니다.